Elecciones y paradoja de Arrow

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Kenneth J. Arrow

 

Las elecciones son el principal mecanismo por el que la democracia se lleva a efecto. El pueblo elige a sus representantes y sus gobernantes. El problema tratado en este artículo es la manera de llevar a efecto tal elección en su casuística.

Kenneth Arrow, Premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel en 1972, fue autor del Teorema de la imposibilidad o de la paradoja que lleva su nombre. Reformulando aquí su conclusión para facilitar su lectura y aplicarla al caso que nos ocupa, diremos que es imposible determinar la preferencia mayoritaria de un grupo de electores cuando se le presentan más de dos opciones a elegir. Esta verdad científica haría formalmente imposible la democracia. Cómo solventar esta imposibilidad matemática y la conveniencia de su tratamiento es a continuación desarrollado.

Supongamos que tenemos un distrito electoral en el que vamos a elegir un representante o que tenemos el caso de la elección de presidente del gobierno. Supongamos que tenemos tres candidatos para el cargo: A, B y C. Una elección democrática se caracteriza por la voluntad mayoritaria, y eso quiere decir que el candidato tiene que ser elegido con más del 50% de los votos emitidos. En el caso de Gráfico 1, el candidato A sería claramente elegido con el 51% de los votos.

Gráfico 1: Elecciones donde el candidato A tiene mayoría absoluta

El caso del Gráfico 2 es diferente. El candidato A ha obtenido la mayor cantidad de votos (49%), pero al no superar el 50%, no se puede asegurar que el candidato A tenga el respaldo de la mayoría democrática y represente por tanto la voluntad mayoritaria del distrito. Esta cuestión, en democracia, se resuelve con la llamada segunda vuelta: una elección entre los dos candidatos más votados. Solo se presentan a segunda vuelta dos candidatos y el ganador, tendrá forzosamente más del 50 % de los votos emitidos y representará la voluntad mayoritaria del distrito.

Gráfico 2: Elecciones donde ningún candidato tienen mayoría absoluta

Si suponemos racionalidad en los electores, todos los que votaron A en la primera vuelta vuelven a votar A en la segunda, y todos los que votaron B en la primera vuelta, vuelven a votar B en la segunda. Como resultado de la segunda vuelta, tendríamos la situación de la Gráfico 3 o la situación de la Gráfico 4. Únicamente el 3% de los votantes que votaron C en la primera vuelta (Gráfico 2) tienen que decidir ahora nuevamente su voto, bien por A (Gráfico 3) o bien por B (Gráfico 4). Serán estos votantes de C los que decidan el resultado final de la elección.
La situación de la Gráfico 3 ilustra el caso en que los electores de C deciden votar por A en segunda vuelta. El ganador de las elecciones es A con 49% + 3% = 52% de los votos.

Gráfico 3:Segunda vuelta en la que los votantes de C se han decantado por A.

La situación de la Gráfico 4 ilustra el caso en que los electores de C deciden votar por B en segunda vuelta. El ganador de las elecciones es B con 48% + 3% = 51% de los votos.

Gráfico 4: Segunda vuelta en la que los votantes de C se han decantado por B

Hasta aquí todo parece correcto y lógico, pero un análisis más profundo nos va a hacer ver que no es así. Estamos enfrentándonos directamente a la paradoja de Arrow, y las matemáticas nos dicen que no podemos llevar a cabo lo que pretendemos.
Ha quedado dicho arriba, que en ambos casos de la Gráfico 3 y la Gráfico 4, han sido los votantes de C los que han mostrado su segunda preferencia en la segunda vuelta, derecho que no han tenido ni los votantes de A ni los votantes de B. Todos los votantes no son tratados de la misma manera. Parece que se da un trato especial y determinante para el resultado de la elección a los votantes de C, que no gobernará.
En la Gráfico 3, B no va a gobernar; pero si la segunda preferencia de los votantes de B, que no han podido expresar, es C, entonces el ganador de las elecciones y representante de la voluntad mayoritaria debería ser C (48% + 3% = 51%). Esto no lo podemos saber, porque en la segunda vuelta no se pudo votar a C. C perdió indebidamente toda posibilidad de gobernar en la primera vuelta. Igualmente, si los electores de A tienen por segunda preferencia a B, entonces debería ganar B y no C. Es un círculo vicioso, no hay salida ni solución.
En la Gráfico 4, A no va a gobernar. Pero si la segunda preferencia de los votantes de A, que no han podido expresar, es C, entonces el ganador de las elecciones y representante de la voluntad mayoritaria debería ser de nuevo C (49% + 3% = 52%). Esto tampoco lo podemos saber, porque en la segunda vuelta no se pudo votar a C. C perdió indebidamente toda posibilidad de gobernar en la primera vuelta. Igualmente, si los electores de B tienen por segunda preferencia a A, entonces debería ganar A. Es un círculo vicioso, no hay salida ni solución.
La paradoja de Arrow no tiene solución; si la tuviera sería un problema y dejaría de ser una paradoja. Es precisamente por el hecho de que la solución de la segunda vuelta no es perfecta, ni ninguna otra lo es, por lo que para aplicar la segunda vuelta es necesario un “acuerdo tácito” entre los electores de que el ganador de la segunda vuelta ya sí representa a todos, y no solo a los que le han votado en segunda vuelta. Sin este acuerdo tácito nunca podemos estar seguros de que el vencedor en segunda vuelta representa a la voluntad mayoritaria del distrito.
A pesar de no ser una solución perfecta, parece la más lógica, y desde luego está comprobado que la no aplicación de esta solución de segunda vuelta lleva a resultados ilógicos y a una falta de representación. Es decir, está comprobado que no aplicar la solución de la segunda vuelta produce peores resultados que aplicarla. Como ejemplo, propongo el estudio del distrito del Sur de Aberdeen (Escocia, Reino Unido), que conozco bien. Se presentan en el Cuadro 1 los resultados de las elecciones generales de 2017. En el Reino Unido hay un sistema de elección parlamentaria por distrito uninominal (un solo diputado por distrito), sin doble vuelta.

Cuadro 1: Resultado de la elección general parlamentaria del Reino Unido de 2017 en el distrito del Sur de Aberdeen.

Se observa en la Cuadro 1, que el ganador de las elecciones en el distrito fue el candidato elegido por el partido conservador con un % de votos menor que el 50%. El sentimiento político mayoritario en este distrito es el odio al partido conservador por cuestiones que caen fuera del alcance de este artículo. La voluntad mayoritaria del distrito no está por tanto representada en el parlamento británico. Si hubiese habido segunda vuelta entre el candidato conservador y el candidato del partido Nacional Escocés (SNP), muy probablemente, la mayor parte de los votos del partido laborista y del partido liberal demócrata hubieran ido al SNP antes que al conservador y el vencedor de las elecciones hubiera sido el SNP. La falta de representación mayoritaria por no haber segunda vuelta quedó patente cuando Ross Thompson votó a favor del Brexit en el parlamento británico representando únicamente a sus electores y no a la mayoría ni a todo el distrito, pues el resultado del referéndum del Brexit fue abrumadoramente a favor de permanecer en la Unión Europea en este distrito.

Para gestionar la paradoja de Arrow, tradicionalmente, en democracia, se recurre a la segunda vuelta entre las dos opciones más votadas en primera vuelta, como arriba se ha explicado. Las dos primeras preferencias principales de la población pasan a la segunda vuelta. Ésta es la manera de “resolver” la paradoja en casos como el de la Gráfico 2, típicos bipartidistas, pero no parece a priori una buena solución para casos como el de la Gráfico 5 donde no se observa una distribución bipartidista. En estos casos, organizar una segunda vuelta solamente con E y F no parece lógico, pues a raíz de los resultados de primera vuelta todas las opciones “merecen” tener opciones a ganar.

Gráfico 5: Resultados de primera vuelta con múltiples candidatos

En el caso de la Gráfico 5, asimilable a la reciente elección de líder del partido conservador británico, no parece claro entre qué dos candidatos debería darse una segunda vuelta. Es por ello que, en casos como éste, donde no hay bipartidismo, parece más lógico hacer varias rondas, lo que muchas veces puede ocasionar el cansancio del elector por el alargamiento del proceso. En cada ronda el candidato, o los candidatos con los resultados más bajos serían eliminados para la siguiente ronda hasta que solo queden dos candidatos. El acuerdo tácito vuelve a ser aquí necesario. Éste es el sistema que se ha aplicado para la elección de líder conservador en el Reino Unido en 2019.

Una constitución, para ser democrática, debe permitir la representación (poder legislativo) de la voluntad mayoritaria y la elección del gobernante (poder ejecutivo), lo más exacta y justamente posible. Es por ello que debe establecer un proceso para que finalmente se lleve a cabo una elección entre solo dos opciones.

Galileo 

 

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L Muriel

Excelente.

Atanasio Noriega

No

L Muriel

Atanasio Noriega es una buena explicacion de la paradoja.

Atanasio Noriega

La paradoja ya la explicó perfectamente su autor, al que no hay mas que leer. Pero este artículo no consiste en la repetición o nueva divulgación de esa paradoja, sino en lo que explico en mis otros comentarios, señalando las equivocaciones

L Muriel

Atanasio Noriega pues sigo encontrando muy buena descripcion de la paradoja sin entrar en las demás consideraciones del artículo.

Atanasio Noriega

L Muriel es que las demás consideraciones son lo único relevante. La paradoja es algo que cualquiera conoce o que cualquier interesado puede comprender documentándose.

Vicente Dessy Melgar

Solo la Republica Constitucional resuelve, en la historia de las ideas políticas, la paradoja de Arrow. Como así se lo exprese a D Antonio.

Atanasio Noriega

Supone un error epistemológico, el que se comete en este artículo, la pretensión de aplicar las ciencias exactas a la materia de las humanidades o las ciencias sociales.

Siendo cierta la conocida como “Paradoja de Arrow”, que resuelve la segunda vuelta en la elección y que la evita, también es cierta la equivocación de suponer que el representante lo es de una voluntad general, cuando lo es únicamente de unas personas físicas, como él mismo, a las que representa.

En este punto de la confusión es donde se llega a una nueva equivocación y que resulta de la incorporación del sentimiento de adhesión hacia unos u otros partidos políticos, cuando lo representado por el diputado de distrito no es el partido o su ideal, sino al propio distrito que lo elije mayoritariamente y ante cuyos convecinos responde.

Pero el mayor error final, es el de hablar de una “Constitución democrática” (cuando la democracia no es ninguna cualidad constitucional sino la forma de gobierno constituida) que se pretende sirva para representar una voluntad mayoritaria o general del pueblo. Ese no es el propósito de una Constitución o lo que la caracterice, sino únicamente lo que constituye ese texto: la separación del poder legislativo nacional y el poder ejecutivo del Estado. Por lo tanto, el requisito único de una Constitución para ser tal, es el de fundar de facto la separación radical de los poderes, desde una única legitimidad común y mediante elecciones separadas.

Por otra parte, la democracia es una forma política de gobierno y por lo tanto no admite una referencia a ella como situación de estancia. Es decir, es incorrecto decir “en democracia” como si fuese un lugar en el que se está o al que se llega, en lugar de hablar de LA democracia, que únicamente puede haberla o no haberla, y no alguien estar en ella.

Atanasio Noriega

Y para completar esta consideración, hay que señalar que el origen de esta equivocación, la que sustenta las consideraciones de este artículo, reside en la concepción material de la democracia y en la hipótesis equivocada de que existe una voluntad general que podría ser averiguada o supuesta mediante el uso de la ciencia. Este error, el de la pretensión de una aplicación científica al servicio extractivo o resolutivo de voluntades generales, es el que arrastra toda Europa desde la revolución francesa, y una de las causas de que jamás haya habido democracia como forma de gobierno en ningún lugar de ella.

Atanasio Noriega

Y en favor de la claridad, cabría añadir además, que en el Reino Unido, utilizado en los ejemplos del artículo para exponer la paradoja de Arrow, la forma de gobierno no es la democracia, sino que es el parlamentarismo. Se trata de una monarquía parlamentaria, a diferencia por ejemplo de España, donde lo que hay es una monarquía de partidos.

Carlos González Maza

Sin haberlo pensado mucho… En caso de que los votantes, en lugar de votar a una persona, elaborarán una lista por orden de preferencia, ¿no sé podría esclarecer quién debe ganar las elecciones?

Atanasio Noriega Dos

Carlos González Maza la existencia de listas es precisamente lo que impide la representación política. La representación política se fundamenta en la elección libre y directa de los representantes.

Y por otra parte el voto no refleja una voluntad o un criterio del elector, sino únicamente FUERZA.

Carlos González Maza

Atanasio Noriega Dos a ver, que las listas a las que me refiero no tienen nada que ver con las listas de partido a las que te refieres. Hablo de una lista en la que establezcas tu orden de preferencia de las personas (no listas) que se presentan a las elecciones

Atanasio Noriega Dos

Carlos González Maza es que para eso existe la segunda vuelta, que resuelve la paradoja de Arrows en la decisión

Atanasio Noriega Dos

Carlos González Maza usted lo que trata es de que los candidatos representen a ideologías, y de ahí colige su pretensión de hacer listas. Pero el asunto es que el diputado representa únicamente a sus convecinos del distrito, no a una ideología o a ningún partido, porque eso entra en el terreno de la metafísica, en una consideración espiritual y mágica de lo que es la representación

Atanasio Noriega Dos

Carlos González Maza la representación es una relación contractual, no espiritual o mística de origen esotérico

Galileo Galilei

Estimado Atanasio:

Muchas gracias por tus apreciaciones. Siempre es enriquecedor conocer todos los puntos de vista sobretodo si se tiene algún conocimiento al que mi artículo intenta contribuir.

No en ningún momento hablo de voluntad general, las ideas de Rousseau están superadas. La democracia funciona por mayorías y monorías. No tengo nada más que decir a este respecto.

No, la segunda vuelta no resuelve la paradoja, por que no se puede resolver. La segunda vuelta solámente gestiona la paradoja de una manera “aceptable” en determinados escenarios pero no en otros. Éste es el punto fundamental del artículo y para su comprensión te recomiendo una nueva lectura. Los documentos con información cuanitativa requieren normalmente una lectura más lenta que los cualitativos, especialmente si el lector es poco bersado en ciencias como, con todo respeto, parece ser tu caso. Uno no debe escribir una crítica a un documento sin haberlo entendido. Yo voy un paso más allá de Arrows al afirmar que no se puede determinar la voluntad mayoritaria, cuando Arrow afirmaba que toda elección iba a implicar dictadura. Te recomiendo la lectura del artículo original: https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.stat.uchicago.edu/~lekheng/meetings/mathofranking/ref/arrow.pdf&ved=2ahUKEwi6_bqKnczkAhVs8OAKHQdXD90QFjABegQIAxAB&usg=AOvVaw1H-AUmVbnop__Sa_t2RtMS

El autor es Arrow, no Arrows Como tú dices. A lo mejor lo traduces mal del inglés: “Arrow’s Paradox”, que se podría traducir como “Paradoja de Arrow”.

Independientemente de que tienes algún conocimiento de la teoría de Antonio, mis ejemplos del Reino Unido sirven para explicar el artículo independientemente cual sea el régimen del Reino Unido. De todas formas, veo que no conoces bien el sistema británico y que no conoces el rol de los partidos en el Reino Unido.

Lamento que no haya comprendido mi explicación, donde en ningún momento menciono a Rousseau, y donde el aspecto principal es el de apuntar al grave error epistemológico que usted comete, al tratar de aplicar la matemática para considerar voluntades individuales o colectivas. Y esto es así porque usted yerra, tal y como explicó ya Antonio García-Trevijano, al creer que el voto refleja opinión o criterio cuando lo único que supone es FUERZA (tal y como explico en otro comentario que al parecer usted no ha leído).

La segunda vuelta por eso sí que resuelve la paradoja, porque la paradoja se aplica en cuanto a la toma de decisiones, es decir, en el momento de decidir algo, que en este caso es un representante político, por mayoría, con la fuerza y apoyo de la mayoría.

Siendo que usted se equivoca porque mi formación académica es científica, y constituyendo un claro prejuicio y una osadía lo que usted dice, resulta que usted no va ningún paso mas allá de Arrow, porque lo único que hace es exponer un texto que se puede encontrar en cientos de lugares (comenzando por la propia Wikipedia) y tratar de hacer ver que es la voluntad lo que se podría extraer de esa decisión. Pero donde se observa mas claramente su confusión y desconocimiento, como ya dije en mis anteriores comentarios, es al escribir literalmente que “Una constitución para ser democrática debe permitir la representación de la voluntad mayoritaria”. Como expliqué, ni existen las “constituciones democráticas” (porque eso implicaría que también serían posibles las que no lo fueran) ni menos aún es posible representar una voluntad.

Es igualmente absurdo que usted prejuzgue mi conocimiento o no del sistema británico, y sin embargo obvie o finja no haber leído lo que le respondí. Por eso, sin saber que contestar de un modo que sirva para apoyar lo que expuso o para refutar mi explicación, lo único a lo que se reduce su comentario es a una vulgar valoración acerca de lo que usted supone que yo sepa o deje de saber.

Lo único acertado de todo lo que usted escribe en su irrespetuoso comentario, es cuando hace referencia al término “resolver” que empleé. Ciertamente, tiene usted razón y no se puede resolver, porque de lo contrario, ya no sería una paradoja. Lo que hace la segunda vuelta es evitar esa paradoja, es decir, que no se produzca. Así que, en favor de la claridad y de la honestidad intelectual que usted no demuestra, debo decir que lo que se resuelve es el problema planteado en la decisión, evitando la paradoja con una segunda vuelta entre los dos candidatos mas votados.

Galileo Galilei

Bueno, mira, Atanasio,

Si aún sigues diciendo que la segunda vuelta evita la paradoja es que sigues sin leer el artículo despacio y / o sin entenderlo. La paradoja es inevitable también y solompuede ser gestionada. Es por ello que ya no voy a insistir más. Contesta aquí lo que quieras si lo deseas, pero no merece la pena. Cuando se comenta un artículo hay que comentar lo que el artículo dice y lo que concluye, no lo que el comentarista se inventa. Para eso ya tenemos los partidos y los medios habituales.
Un saludo, y adelante, sigue comentando

Eso he hecho exactamente: leer atentamente su artículo y demostrar sus principales equivocaciones, limitandome exclusivamente a lo escrito en él y sin realizar prejuicios o suposiciones. Sin embargo, una vez expuestas a través de mis comentarios, dirigidas únicamente al objeto en cuestión y no a la persona, su respuesta ha ido en sentido inverso, a la persona y no al asunto considerado.

Si yo hubiese estado equivocado en alguna de las cosas que expliqué, entonces usted las hubiese demostrado como falsas mediante algún argumento que lo hiciese evidente a los demás. Sin embargo no lo hizo, demostrando así que no puede sostener lo que pretende este mal artículo y se limitó a insinuar que desconozco la materia con la esperanza de confundir.

Lo que el artículo concluye, y ya que se refiere usted a ello, es lo peor de todo. Es el último párrafo del escrito el que demuestra que quien lo escribe desconoce lo que es la democracia, desconoce la materia jurídica constitucional y desde luego, que desconoce también el pensamiento y la obra de Antonio García-Trevijano que ya destierra por completo equivocaciones como la manifestada en este texto.

Lo que es especialmente significativo de este artículo es el momento en el que se ha publicado en este prestigioso Diario.

Con respecto a la célebre paradoja, cuya exposición era completamente innecesaria por ser ya sobradamente conocida, se aplica en la teoría de la toma de decisiones. Es por ello que únicamente se produce cuando existe una única vuelta, una única votación, e impide que ésta se tome por mayoría absoluta. Por eso, al existir una segunda vuelta, se evita, no existe ya ninguna paradoja. Y por eso usted tiene que utilizar como ejemplo el sistema británico, cuya forma de gobierno además no es la democracia, donde sí que se da ese fenómeno paradójico. Si tomase el sistema francés, entonces no podría haber empleado sus cábalas, ya que en él Arrow no sirve y no es aplicable.

Además de todo esto y aún siendo innecesario abundar más en los errores que se encuentran en el artículo, cabe señalar que también se observa en él la equivocación de suponer la racionalidad de los votantes, cuando eso es únicamente un prejuicio falso por desconocerse las particularidades de los intervinientes. No se vota racionalmente, sino apasionadamente, y por eso es irrelevante la inteligencia, la formación académica de los votantes o sus desiguales atribuciones individuales. Es un error, incluso en el análisis político y sociológico, suponer algo como esa racionalidad, porque los votantes no actúan de esa forma calculadora y cabalística que se pretende en este artículo tan desacertado

Galileo Galilei

Esto es como una pesadilla de verdad. Ya no sé cómo decir que la paradoja también se da en Francia. Precisamente utilizo el Reino Unido para ilustrar la conveniencia de la segunda vuelta para gestionar la paradoja, que no se puede resolver. No has entendido el artículo Atanasio, y tampoco el de Arrow. Recomiendo encarecidamente la lectura de ambos. Yo creo que si los estudiaras con tiempo y profundamente llegarías a entenderlos, porque ninguno de los dos utiliza matemática de alto nivel, solo hay que leer despacio. Contestes lo que contestes ya no voy a escribir ni a explicarte nada más. Esto es como hablar con una pared, Qué No voy a perder más mi tiempo. Buena suerte

La verdad es que no me extraña que a usted llegue a parecerle una pesadilla, porque eso es lo que sería la posibilidad de aplicar las matemáticas al cálculo de las voluntades humanas.

Que todo su argumento se reduzca a la insistencia en leer el artículo o en afirmar que nadie lo entiende mas que usted, es lo que es significativo. Porque además ya le he explicado que en Francia no se produce la paradoja al existir una segunda vuelta ¿o es que existe acaso en el planteamiento de Arrow una segunda vuelta?. Por eso aclaré antes que la segunda vuelta no resuelve una paradoja, sino que simplemente la evita, deja de producirse y de existir.

Lo esencial sin embargo, que es lo que he expuesto y desarrollado en mis comentarios, no es simplemente que usted cometa ese error en la interpretación de Arrow al tratar de aplicar una cuestión que atañe a la toma de decisiones a la voluntad. Eso es únicamente un error epistemológico, que resulta de su desconocimiento de las ciencias humanas y por ello trata de aplicar la matemática. El asunto principal, como ya dije, y que que sintetiza toda la confusión de su artículo y la resume perfectamente, está en el último párrafo. Porque en ese párrafo es donde se observa la pared con la que usted se golpea y lo lleva a no tener ni la mas mínima idea de lo que es la democracia o lo que es una Constitución.

No se trata de matemáticas de alto o bajo nivel, algo que no tengo ni idea de lo que es, porque tan matemática es el cálculo diferencial, como el de estadísticas o porcentajes que usted emplea. La matemática no es mas que una herramienta, no algo que vaya a determinar la realidad o que por sí misma la resuelva. Y por eso, por ser meramente una herramienta, no basta en estas cuestiones, ni se puede considerar a los seres humanos como si fuésemos simples números en una ecuación. La realidad es algo infinítamente mas complejo que las fantasías oníricas inducidas por el cálculo matemático y por eso, en la política, no es determinante.

Lo mejor por eso es que, si a usted le gustan verdaderamente las matemáticas, dedique su talento a ellas, pero no a las cuestiones políticas porque son algo que le sobrepasa. Utilice las matemáticas en el ámbito en el que deben de ser aplicadas, sirva con ellas a los campos de la ingeniería o de la técnica, pero no pretenda que los seres humanos actuemos de forma tan ideal como lo hacen los números.